Fungsi Invers

Fungsi Invers

Fungsi invers dapat disebut juga fungsi kebalikan yang merupakan suatu pemetaan yang memiliki arah berlawanan dengan fungsinya. Misalkan suatu fungsi memetakan himpunan A ke himpunan B, maka fungsi invers memetakan himpunan B ke himpuann A.

Suatu fungsi f memiliki fungsi invers f ^-1 apabila fungsi f merupakan jungsi bijektif (korespondensi satu-satu).

Langkah-langkah memnetukan fungsi invers :

      1.      Ubahlah y = f (x) menjadi bentuk x = f (y).

      2.      Tuliskan x sebagai f ^-1(y) sehingga  f ^-1 (y) = f (y).

      3.      Ubahlah variabel y menjadi x sehingga diperoleh rumus fungsi invers f ^-1 (x).

Contoh soal :

Penyelesaian :

Latihan Soal Komposisi Fungsi

Latihan Soal Komposisi Fungsi

     

    1. Diketahui f = {(2,2) , (3,4) , (4,6) , (6,8)} dan g = {(2,4) , (4,6) , (6,8)}.

Maka pasangan berurutan dari (f ○ g) adalah…

    2. Diketahui f = {(2,7) , (3,9) , (5,13) , (6,15)},  g = {(4,16) , (10,40) , (13,52)}, dan h = {(40,-45) , (48,-53) , (52,-57)}.

Maka nilai (h ○ g ○ f) (5) adalah…

     3. Diketahui fungsi f : R → R yang ditentukan oleh rumus berikut :

Maka nilai ( f ○ f ○ f ) (-1) adalah…

     4. Jika f (x) = 5x – 2 dan g (x) = 2x² – 3x + 7.

Maka rumus komposisi fungsi (f ○ g) (x) adalah…

     5. Jika diketahui f (x) = 2x + 5 dan g (x) = x² – 2x – 1.

Maka rumus komposisi fungsi (f ○ g) (x) adalah…

     6. Diketahui :

Maka nilai (f ○ g) (-1) adalah… 

     7. Diketahui f (x) = 3x² – 4 , g (x) = 2x – 3 , dan h (x) = x + 1.

Maka rumus komposisi fungsi (f ○ g ○ h) (x) adalah… 

     8. Diketahui f (x) = 2x² – 3x dan g (x + 2) = 2x – 5.

Maka rumus komposisi fungsi (f ○ g) (x) adalah… 

     9. Diketahui f (x) = 2x + 3 dan (f ○ g) (x) = 4x² + 16x + 11.

Maka fungsi g (x) adalah… 

     10. Jika diketahui :

Maka nilai (f ○ g) (2) adalah…

Aplikasi Barisan dan Deret Geometri

B. Aplikasi Barisan dan Deret Geometri

1. Pertumbuhan

Pertumbuhan merupakan suatu keadaan yang mengalami kenaikan atau pertambahan.

Contohnya adalah pertambahan penduduk dan perhitungan bunga majemuk di Bank.

Contoh soal :

1)   Penduduk suatu kota pada tahun 2020 adalah 3 juta jiwa. Tingkat pertumbuhan penduduk di kota tersebut adalah 2% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2025 !

Penyelesaian :

Diketahui :

P₀ = 3 juta jiwa

r = 2% per tahun

t = 2025 – 2020 = 5 tahun 

Rumus :

P_t = P₀ (1 + r)^t

Keterangan :

P₀ = jumlah mula-mula

P_t = jumlah pada t tahun

r   = persentase pertumbuhan

t   = tahun

P₅ = 3 (1 + 0,02) ⁵

    = 3 (1,02) ⁵

    = 3 (1.104.081)

    = 3.312.243

Jadi jumlah penduduk pada tahun 2025 adalah 3.312.243 jiwa.

2)     Pak Made menabung di Bank sebesar Rp. 350.000.000,-

Bank tersebut memberikan bunga tabungan sebesar 1% per bulan dengan sistem bunga majemuk. Berapakah jumlah tabungan Pak Made setelah 1 tahun ?

Penyelesaian :

Diketahui :

M₀ = 350.000.000

i = 1% per bulan

t = 12 bulan

Rumus :

M_t = M₀ (1 + i)^t

Keterangan :

M₀ = jumlah mula-mula

M_t = jumlah pada t bulan

i   = persentase bunga majemuk

t   = bulan

P₁₂ = 350.000.000 (1 + 0,01) ¹²

      = 350.000.000 (1, 01) ¹²

      = 350.000.000 (1,126825030)

      = 394.388.760,55

Jadi jumlah tabungan Pak Made setelah 12 bulan adalah Rp. 394.388.760,55

Latihan soal :

1.   Selama 3 bulan berturut-turut jumlah penduduk suatu kota bertambah 1% per bulan. Jumlah penduduk kota itu mula-mula 3 juta orang. Berapakah penduduk kota tersebut pada akhir bulan ke-3?

2.   Bu Agung menyimpan uang sebesar Rp. 40.000.000,- pada suatu Bank selama 3 tahun. Bank memberikan suku bunga majemuk 10% per tahun. Hitunglah jumlah uang Bu Agung  setelah 3 tahun 

Selamat mengerjakan...

2. Peluruhan

Peluruhan (penyusutan) adalah berubahnya suatu keadaan dengan mengalami pengurangan          (penurunan) secara eksponensial. Contoh peluruhan yaitu peluruhan zat radioaktif dan penyusutan harga barang.

Pt = P0 (1-p)ᵗ

Keterangan:

P0 = banyak benda mula-mula

Pt = sisa benda saat t

p = laju peluruhan

Contoh soal:

1.    Pada pukul 06.00 massa suatu zat radioaktif adalah 0,3 kg. Apabila laju peluruhan zat   radioaktif tersebut 2% setiap jam, berapa gram sisa zat radioaktif pada pukul 08.00!

Penyelesaian:

Diketahui : t = 2

P0 = 0,5

p = 2% setiap jam

Ditanya   :  P₂

Jawab     : Pt = P0 (1-p)ᵗ

P2 = 0,3 (1-0,02)²

= 0,3 (0,98)²

= 0,3 (0,9604)

= 0,28812 kg

= 288,12 gram

2.  Sebuah mobil dengan harga Rp 75.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun?

Diketahui:   harga mobil (M)= Rp 75.000.000,00,
penyusutan (i) = 10 = 0,1,
waktu (t) = 4 tahun

Ditanya:   P₄

Jawab:     P_n= P (1 – p)^t
P₄ = 75.000.000 (1 - 0,1)⁴
= 75.000.000(0,9)⁴
= 75.000.000(0,6561)
= 49.207.500

Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 49.207.500,00.

Latihan Soal:

1. Dokter mendiagnosa pasiennya bahwa masih terinfeksi 500.000 bakteri. Dokter meningkatkan dosis obat untuk membunuh 10% bakteri setiap 6 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 24 jam. (Petunjuk: 24 jam : 6 jam = 4)

2.    Sebuah industri mulai beroperasi pada tahun 2016 membeli mesin produksi seharga Rp 200.000.000,00. Namun harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan harga mesin pada tahun 2020!

Operasi Aljabar pada Fungsi

A. Operasi Aljabar pada Fungsi
Jika  f dan g merupakan fungsi, maka berlakusifat-sifat :

1. Penjumlahan fungsi 

(f  + g) (x) = f (x) + g (x) dengan daerah asal D_f+g = D_f  ∩ D_g

2. Pengurangan fungsi
(f – g) (x) = f (x) – g (x) dengan daerah asal D_{f – g}  = D_f  ∩ D_g

3. Perkalian fungsi

(f  x g) (x) = f(x) x g(x) dengan daerah asal D_{f x g}  = D_f  ∩ D_g

4. Pembagian fungsi

Latihan soal:

1.

 
2.

3.

4.

5.

6.

  

7. 

8. 

Kuis (Penilaian Kedua):

Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika

A. Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika

Contoh soal

Sebuah pabrik memproduksi televisi, banyaknya produksi per bulan merupakan barisan aritmatika. Produksi pada bulan ke-4 adalah 175 unit dan prodiksi pada bulan ke-6 adalah 225 unit. Tentukan:

a. Pertambahan produksi tiap bulan;
b. Banyaknya produksi pada bulan pertama;
c. Banyaknya produksi pada bulan ke-10;
d. Jumlah produksi pada tahun pertama;
e. Jumlah produksi hingga tahun ke-3.

Penyelesaian

Latihan soal

1. Wayan menyetorkan uang ke Bank dengan rincian:

Pada bulan pertama Wayan menabung Rp. 250.000,- 

Pada bulan ke-2 Wayan menabung Rp. 300.000,-
Pada bulan ke-3 Wayan menabung Rp. 350.000,-
dan seterusnya.
Wayan menabung dengan selisih yang sama setiap bulannya.
Berapa jumlah tabungan Wayan setelah 2 tahun?
(Petunjuk : 2 tahun = 24 bulan)

2. Dalam sebuah aula terdapat 20 kursi pada baris paling depan dan setiap baris berikutnya memuat 4 kursi lebih banyak daripada baris didepannya.

Jika dalam aula tersebut terdapat 15 baris kursi, maka berapa banyak kursi yang ada di aula tersebut? 

Selamat mengerjakan… 

Kuis (Penilaian Ketiga):

Seorang lulusan SMK menandatangani kontrak perjanjian kerja selama satu tahun dengan sebuah hotel. Pada bulan pertama ia mendapat gaji sebesar Rp 1.500.000,00. Setiap bulan ia akan mendapatkan kenaikan gaji secara berkala sebesar Rp 125.000,00. Berapa total besar gaji yang ia peroleh setelah satu tahun bekerja?